三百三十四节 真或假

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命题D：‘地区码第4位不为1’，</p>

命题E：‘地区码第5位为1’，</p>

命题F：‘地区码第5位不为2’</p>

命题G：‘地区码第6位不为9’</p>

命题H：‘地区码第7位不为9’</p>

┐A∧┐B∧┐C∧┐D∧E，这是10011，三亚榆林，它符合5号卡袋的表达式，所以这些卡片位于5号卡袋中，可以记为p5。</p>

┐A∧┐B∧┐C∧┐D∧┐E∧┐F∧G，这是100120~100128，三亚田独11~89公社，它符合7号卡袋的表达式，所以这些卡片位于7号卡袋中，可记为p7。</p>

┐A∧┐B∧┐C∧┐D∧┐E∧┐F∧┐G∧H，这是1001290~1001298，三亚田独90~98公社，它符合8号卡袋的表达式，所以这些卡片位于8号卡袋中，可记为p8。</p>

后两者合起来，即p7∨p8，是三亚田独，但不包括奴隶。三者全部合起来，即p5∨p7∨p8，是我们所要的结果。因为这个表达式符合我们上面的形式，所以分类机可以解决。”</p>

“而‘(A∧B∧C)∨(A∧D∧E)’，无论我们怎样变换，是不能变换成上述表达式的，因而是当前的分类机所不能解决的。”</p>

“好，问题来了，怎样变换表达式？”这时他看向了冯珊。</p>

“这是0和1的布尔代数。”冯珊答道，她的眼睛里透出着迷的神色。</p>

冯诺点点头，钱羽之和李加奈此前已经完全不知所云了，不过听到布尔代数，他们有点反应过来了。</p>

冯诺只教过他俩最简单的布尔代数，以至于他们以为布尔代数就是0和1的布尔代数。</p>

“然后呢？”冯诺继续引导。</p>

“布尔代数是有补分配格！交运算是‘与’，并运算是‘或’，求补是‘非’，满**换律、结合律、吸收律，‘与’和‘或’彼此满足分配律！0-1布尔代数还满足幂等律！”</p>

这是布尔代数的理论部分，钱羽之和李加奈又糊涂了。</p>

“很好。”冯诺表扬了一句。</p>

“不过，”他又补充说，“格的基本运算律只是‘与’和‘或’两种运算之间的，包括交换律、结合律、吸收律、幂等律、分配律等等。在命题逻辑里，还要考虑‘非’的性质，这里我暂时只说两点：其一，双重否定律，很显然，命题的非命题的非命题，是其自身。其表达式的形式是——”</p>

冯诺在黑板上写下：</p>

┐┐A = A；</p>

“其二，德……唉，就叫‘与或转换律’吧，两个命题的合取的非，是两个命题的非的析取；两个命题的析取的非，是两个命题的非的合取。其表达式的形式是——”</p>

他又写下：</p>

┐(A∧B)= ┐A∨┐B，</p>

┐(A∨B)= ┐A∧┐B。</p>

“我举两个例子你们就明白了，‘不是16岁以上的男人’，也就意味着是‘16岁以下的人’或‘女人’；‘不是原籍海南或福建的人’，也就意味着‘不是原籍海南的人’并且‘不是原籍福建的人’。”</p>

然后他继续说道，“根据这些运算律，可以把逻辑命题的表达式变换成各种形式，不过，一般我们会变换成连续‘与’的‘或’，或者连续‘或’的‘与’，称为析取范式和合取范式。”</p>

“好，有了理论工具，我们就能够发现，目前分类机在设计上存在局限性。如果分类机能够处理一般的析取范式或者合取范式，就不存在从设计上无法解决的问题了。——比如‘找出原籍福建或海南的人’。”</p>

“这就要求我们的每个读卡单元，不是仅能判断一个简单命题的真假，而是能够判断多个简单命题构成的合取项或者析取项的真假。反映在分类机设计上，就是把读卡单元目前仅包括1个工作继电器和1个控制继电器的简单电路，改造成包含多个继电器的开关电路。”</p>

“羽之，你这段时间已经很熟悉电路了。你来组装一个有两个开关和一个灯泡的电路，要求‘只有2个开关都闭合，灯泡才亮’。”</p>

冯诺指了指一旁的工作台。工作台上有一大堆导线、继电器、灯泡和开关，台下放着两个笨重的钟式电池，万用表和其他几种仪器则被丢在工作台的角落里。</p>

钱羽之熟练地来到工作台前忙活起来，他首先从电池的正负极引出了导线，然后把灯泡连入电路，灯泡亮了。接着，他把两个开关用导线连起来，又和灯泡、电池连在了一起。</p>

冯诺让三名学生都去试一下，是不是只有2个开关都闭合时，灯泡才亮，如果有任意1个开关是断开的，灯泡就熄灭。</p>

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